Penemu Matematika

Penemu Matematika

Tokoh yang bernama lengkap Abu Ja'far Muhammad bin Musa Al-Khwarizmi (780-846 M) ini merupakan intelektual muslim yang banyak menyumbangkan karyanya di bidang matematika, geografi, musik, dan sejarah. Dari namanyalah istilah algoritma diambil.

Lahir di Khwarizmi, Uzbeikistan, pada tahun 194 H/780 M. Kepandaian dan kecerdasannya mengantarkannya masuk ke lingkungan Dar al-Hukama (Rumah Kebijaksanaan), sebuah lembaga penelitian dan pengembangan ilmu pengetahuan yang didirikan oleh Ma'mun Ar-Rasyid, seorang khalifah Abbasiyah yang terkenal.

Hisab al-Jabr wa al-Muqabla (Pengutuhan Kembali dan Pembandingan) dan Al-Jama' wa at-Tafriq bi Hisab al-Hind (Menambah dan Mengurangi dalam Matematika Hindu) adalah dua di antara karya-karya Al-Khwarizmi dalam bidang matematika yang sangat penting. Kedua karya tersebut banyak menguraikan tentang persamaan linier dan kuadrat; penghitungan integrasi dan persamaan dengan 800 contoh yang berbeda; tanda-tanda negatif yang sebelumnya belum dikenal oleh bangsa Arab. Dalam Al-Jama' wa at-Tafriq, Al-Khwarizmi menjelaskan tentang seluk-beluk kegunaan angka-angka, termasuk angka nol dalam kehidupan sehari-hari. Karya tersebut juga diterjemahkan ke dalam bahasa Latin. Al-Khwarizmi juga diyakini sebagai penemu angka nol.

Sumbangan Al-Khwarizmi dalam ilmu ukur sudut juga luar biasa. Tabel ilmu ukur sudutnya yang berhubungan dengan fungsi sinus dan garis singgung tangen telah membantu para ahli Eropa memahami lebih jauh tentang ilmu ini.
Selain matematika, Al-Khwarizmi juga dikenal sebagai astronom. Di bawah Khalifah Ma'mun, sebuah tim astronom yang dipimpinnya berhasil menentukan ukuran dan bentuk bundaran bumi. Penelitian ini dilakukan di Sanjar dan Palmyra. Hasilnya hanya selisih 2,877 kaki dari ukuran garis tengah bumi yang sebenarnya. Sebuah perhitungan luar biasa yang dapat dilakukan pada saat itu. Al-Khwarizmi juga menyusun buku tentang penghitungan waktu berdasarkan bayang-bayang matahari.

Al-Khwarizmi juga seorang ahli geografi. Bukunya, Surat al-Ardl (Bentuk Rupa Bumi), menjadi dasar geografi Arab. Karya tersebut masih tersimpan di Strassberg, Jerman. Selain ahli di bidang matematika, astronomi, dan geografi, Al-Khwarizmi juga seorang ahli seni musik. Dalam salah satu buku matematikanya, Al-Khwarizmi menuliskan pula teori seni musik. Pengaruh buku ini sampai Eropa dan dianggap sebagai perkenalan musik Arab ke dunia Latin. Dengan meninggalkan karya-karya besarnya sebagai ilmuwan terkemuka dan terbesar pada zamannya, Al-Khwarizmi meninggal pada tahun 262 H/846 M di Bagdad.

Matematika Ekonomi Bag 2

PENERAPAN FUNGSI LINIER

1. Fungsi permintaan

Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan variabel-variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu

Bentuk Umum : Q = a – bP

Hukum penawaran yaitu apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang.

B. Fungsi penawaran

Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen dengan variabel-variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu

Bentuk Umum : Q = a – bP

Hukum permintaan yaitu apabila harga naik jumlah yang diminta akan berkurang dan apabila harga turun jumlah yang diminta akan bertambah.

KESEIMBANGAN PASAR :

Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.

Q_d = Q_s

P

Q

Pe

E

0

Qe

Qs

Qd

Q_d = jumlah permintaan

Q_s = jumlah penawaran

E = titik keseimbangan

P_e= harga keseimbangan

Q_e= jumlah keseimbangan

Kasus :

• Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 – Q , sedangkan penawarannya P = 3 + 0,5 Q. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?

PENGARUH PAJAK PADA KESEIMBANGAN PASAR

Jika produk dikenakan pajak t per unit, maka akan terjadi perubahan keseimbangan pasar atas produk tersebut, baik harga maupun jumlah keseimbangan. Biasanya tanggungan pajak sebagan dikenakan kepada konsumen sehingga harga produk akan naik dan jumlah barang yang diminta akan berkurang

Fungsi permintaan : P = f(Q)

Fungsi penawaran sebelum kena pajak : P = F(Q)

Fungsi penawaran setelah pajak t per unit : P_t = F(Q) + t

Keseimbangan pasar setelah kena pajak diperoleh dengan memecahkan:

Permintaan : P = f(Q), Penawaran : Q = G(P_t – t)

PENGARUH SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASAR

Jika produk dikenakan subsidi s per unit, maka akan terjadi penurunan harga produk sehingga keseimbangan pasar atas produk tersebut juga akan bergeser

Fungsi permintaan : P = f(Q)

Fungsi penawaran setelah kena subsidi : P = F(Q) – s

Keseimbangan pasar setelah subsidi diperoleh dengan memecahkan :

P = f(Q) dan

P = F(Q) – s

FUNGSI BIAYA :

Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variabel cost).

FC = k ,VC = f(Q) = vQ ,C = g (Q) = FC + VC = k + vQ

C

Q

0

k

C=K+Vq

Vc =Vq

FC =k

FC = biaya tetap

VC= biaya variabel

VC = vQ

C = biaya total

k = konstanta

V = lereng kurva VC dan kurva C

Kasus :

Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp 20.000 sedangkan biaya variabelnya ditunjukkan oleh persamaan VC = 100 Q. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya totalnya ! Berapa biaya total yang dikeluarkan jika perusahaan tersebut memproduksi 500 unit barang ?

FUNGSI PENERIMAAN :

Penerimaan total (total revenue) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut.

R = Q x P = f (Q)

Kasus :

Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp 200,00 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini. Berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 350 unit ?

ANALISIS PULANG POKOK (BREAK EVEN) yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan pulang pokok (profit nol, p = 0 ) terjadi apabila R = C.

Kasus :

• Jika biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukkan oleh persamaan C = 20.000 + 100 Q dan penerimaan totalnya R = 200 Q. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan ini berada dalam posisi pulang pokok ? Apa yang terjadi jika ia berproduksi sebanyak 300 unit ?

Matematika Ekonomi Bagian 1

INTEGRAL TAK TENTU

Penerapan integral tak tentu.

FUNGSI BIAYA :

Biaya Total : C = f(Q)

Biaya Marjinal : MC = C’ = dC/dQ = f ‘(Q)

Jadi Biaya Total : C = ò MC dQ = ò f ‘ (Q) dQ

Konstanta k adalah biaya tetap.

FUNGSI PENERIMAAN :

Penerimaan Total : R = f(Q)

Penerimaan Marjinal : MR = R ‘ = dR/dQ = f ‘ (Q)

Jadi penerimaan total : R = ò MR dQ = ò f ‘ (Q) dQ

•Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.

FUNGSI UTILITAS :

Utilitas Total : U = f(Q)

Utilitas Marjinal : MU = U ‘ = dU/dQ = f ‘ (Q)

Jadi utilitas total : U = ò MU dQ = ò f ‘ (Q) dQ

•Dalam persamaan utilitas total konstanta k = 0, sebab tidak akan ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi.

FUNGSI PRODUKSI :

Produksi Total : P = f(x),P = keluaran, x = masukan

Produk Marjinal : MP = P ‘ = dP/dx = f ‘ (x)

Jadi produk : P = ò MP dx = ò f ‘ (x) dx

•Dalam persamaan produk total juga konstanta k = 0, sebab tidak akan ada barang (P) yang dihasilkan jika tak ada bahan (X) yang diolah atau digunakan.

FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN :

•Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan oleh fungsional terhadap pendapatan nasional (Y) yaitu :

C = f(Y) = a + bY

MPC = C ‘ = dC/dY = f ‘ (Y) = b

Karena Y = C + S, maka S = g(Y) = – a + (1-b) Y

MPS = S ‘ = dS/dY = g ‘(Y) = (1 – b)

Berdasarkan kaidah integrasi :

C = ò MPC dY = F (Y) + k , k = a

S = ò MPS dY = G (Y) + k , k = – a

•Konstanta k pada fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masing-masing adalah autonomous consumption dan autonomous saving.

Latihan Soal :

1. Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 – 6Q + 4. Carilah persamaan biaya total dan biayarata-ratanya.

Jwb:

2. Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya

3. Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 – 10Q.

Jwb

4. Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18X – 3X2. Carilah persamaan produk total dan produk rata-ratanya.

5. Carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui autonomous consumption-nya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8.

Matematika Ekonomi

Catatan Kuliah 1